Posted on Mon 06 April 2020
In Архив.
tags: дискретная математика математическая логика подтверждение вывода
Часто в своей жизни нам приходится сталкиваться с различными рассуждениями. Часто люди рассуждают при принятии каких-то решений, и от правильности расуждений может зависеть очень многое - успех, карьера, финансы, а иногда и жизнь.
Иногда эти рассуждения правильны, иногда - нет, но как это определить?
Допустим, некто построил цепочку рассуждений: "Если яблоко спелое, то оно красное. Яблоко, которое я держу в руке, красное. Значит, яблоко, которое я держу в руке, спелое". Как проверить, является ли это рассуждение правильным?
Тут следует сделать замечание о том, что следует считать правильным рассуждением. Обычно интуитивным является представление о том, что рассуждение правильное, если его результат является истинным.
Однако, такое представление неверно. При построении рассуждений возможны несколько ситуаций:
Вариант "предпослыка(предпослыки) ложна, рассуждение построено верно, вывод истинный" невозможен, так уж устроена логика.
Варианты "предпослыка(предпослыки) истинна, рассуждение построено верно, вывод истинный" и "предпослыка(предпослыки) ложна, рассуждение построено верно, вывод ложный" являются замечательными, так как дают не только верный результат для данного конкретного рассуждения, но и, что важнее, при следующем использовании метода позволяют так же получить результат, адекватный окружающей действительности.
Чаще всего вопросы вызывают варианты "предпослыка(предпослыки) истинна, рассуждение построено неверно, вывод истинный", и "предпослыка(предпосылки) ложна, рассуждение построено неверно, вывод ложный". На первый взгляд кажется, что все в порядке, ведь вывод рассуждения соответствует действительности.
Однако именно такие ошибки являются худшими, и все потому, что вывод никак не связан с исходными предпослыками, и если в следующий раз предпослыки изменятся, результат станет неправильным, его нельзя будет использовать при принятии решений, а человек, принимающий решение, даже этого не заметит.
Разберем это на примерах:
Рассуждение первое: Если вы читаете эту страницу, то вы пользуетесь интернетом. Вы читаете эту страницу. Значит, вы пользуетесь интернетом.
Здесь и предпосылки являются истинными (истинны утверждения "Если вы читаете эту страницу, то вы пользуетесь интернетом" и "Вы читаете эту страницу"), и рассуждение построено верно, и вывод так же истинен.
Рассуждение второе: Если вы читаете эту страницу, то вы пользуетесь интернетом. Вы пользуетесь интернетом. Значит, вы читаете эту страницу.
Здесь все, и предпосылки ("Если вы читаете эту страницу, то вы пользуетесь интернетом", и "Вы пользуетесь интернетом"), и вывод ("вы читаете эту страницу") являются истинными, но рассуждение построено неверно, так как вы можете пользоваться интернетом для чего-либо, а не только для чтения этой страницы).
Таким образом, мы приходим к выводам, что "правильность" или "неправильность" рассуждений обуславливается двумя причинами: правильностью утверждений (исходных посылок) рассуждения и правильностью построения рассуждения.
Важным замечанием является то, что математическая логика ничего не знает и не может знать о правильности исходных утверждений. Математическая логика ничего не знает о яблоках, их цвете, спелости и вкусе, об иинтернете и страницах, но математическая логика позволяет проверить, действительно ли при условии того, что какое-то яблоко является спелым, а из того, что яблоко является спелым следует, что оно вкусное, следует, что данное яблоко является вкусным.
Когда же рассуждение является верно построенным? Ответ прост: рассуждение построено верно, если вывод рассуждения с неизбежностью следует из предпосылок рассуждения, или, другими словами, если вывод является следствием предпосылок.
Определим верность построение рассуждения в терминах математической логики. Предположим, что предпослыки рассуждения могут быть выражены формулами \(F_1, F_2, \dots, F_n\), а вывод рассуждения - формулой \(R\). Тогда рассуждение является правильно построенным тогда и только тогда, когда формула
является тождественно истинной (истинной при любых значениях входящих в нее переменных).
Таким образом, проверить правильность построения любого рассуждения можно следующим способом: 0. Выделить из из рассуждения элементарные высказывания. 0. Записать каждое утверждение и вывод рассуждения в виде формул алгебры логики \(F_i\) и \(R\). 0. Построить формулу \(F_1 \wedge F_2 \wedge \dots \wedge F_n \to R\). 0. Проверить, является ли данная формула тождественно истинной. Если является - значит, вывод рассуждения действительно неизбежно следует из предпослылок и, следовательно, рассуждение построено верно.
Рассмотрим несколько примеров.
Начем с того, который мы привели в самом начале:
Если яблоко спелое, то оно красное. Яблоко, которое я держу в руке, красное. Значит, яблоко, которое я держу в руке, спелое.
Вообще, процесс рассуждения здесь построен неправильно, и вот почему. Одна из предпосылок утверждает, что если яблоко спелое, то оно красное. Однако, яблоко может быть красным и по другой причине (например, кто-то его покрасил), так что из того, что яблоко красное, не следует ничего.
Давайте в этом убедимся.
Элементарные высказывания:
Формулы, соответствующие утверждениям и выводу:
Формула для проверки правильности рассуждения
Построим таблицу истинности
| a | b | Значение формулы |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Поскольку наша формула не является тождественно истинной, рассуждение в целом построено неправильно.
Попробуем изменить рассуждение так, чтобы оно было построено правильно. Текст в этом случае будет выглядеть следующим образом:
Если яблоко спелое тогда, и только тогда, когда оно красное. Яблоко, которое я держу в руке, красное. Значит, яблоко, которое я держу в руке, спелое.
Элементарные высказывания аналогичны предыдущему рассуждению:
А вот формулы, соответствующие утверждениям и выводу, отличаются:
Формула для проверки правильности рассуждения
Построим таблицу истинности
| a | b | Значение формулы |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Формула является тождественно истинной, рассуждение в целом построено правильно.
Рассмотрим последний, более сложный пример.
В хоккей играют настоящие мужчины. Трус не играет в хоккей. Если ты трус, то ты не настоящий мужчина. Я в хоккей не играю. Значит, я трус?!
Здесь 4 предпосылки и вывод.
Построить таблицу истинности для данной формулы и убедиться в том, что данная формула действительно является тождестенно истинной, мы предоставим читателям.